#204 스토크스의 정리

스토크스의 정리와 분포전류에 의한 자계

전자기학에서 스토크스의 정리는 자속 밀도와 전류 간의 관계를 이해하는 데 중요한 수학적 도구입니다. 이 정리는 특히 분포전류에 의한 자계 계산에 자주 활용되며, 암페어의 법칙과 밀접하게 연결되어 있습니다.

1. 스토크스의 정리란?

스토크스의 정리는 벡터장의 회전과 폐곡선 적분의 관계를 다음과 같이 설명합니다:

\[ \oint_C \vec{A} \cdot d\vec{l} = \iint_S (\nabla \times \vec{A}) \cdot d\vec{S} \]

여기서 \( C \)는 폐곡선이고, \( S \)는 이를 둘러싸는 곡면이며, \( \vec{A} \)는 벡터장입니다.

자기장 \( \vec{B} \)에 대한 암페어의 법칙은 스토크스의 정리를 통해 다음과 같이 표현됩니다:

\[ \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} \]

이는 폐곡선을 따라 자기장을 적분한 결과가, 그 폐곡선이 둘러싼 면을 통과하는 총 전류와 비례함을 의미합니다.

전류가 일정한 도선에만 국한되지 않고 공간에 분포할 경우, 암페어의 법칙은 전류밀도 \( \vec{J} \)를 통해 다음과 같이 표현됩니다:

\[ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} \]

이 식은 미분 형태의 암페어 법칙이며, 스토크스의 정리를 통해 전체 전류로 통합될 수 있습니다.