#086 sample값 제어계의 안정도

디지털 제어 시스템에서 샘플값 제어계의 안정도는 연속시간 시스템과는 다른 기준으로 판별됩니다. 이산 시스템의 경우, 극점(pole)의 위치가 Z영역에서 단위원 내에 위치해야 안정한 시스템으로 간주됩니다.

Z영역에서의 안정도 조건

이산시간 시스템의 전달함수 \( G(z) \)의 극점들이 복소평면에서 단위원(Unit Circle)의 내부에 위치해야 안정성을 확보할 수 있습니다:

\[ |z_i| < 1 \quad \text{(모든 극점 } z_i \text{에 대해)} \]

안정도 판별법

다음과 같은 방법들이 널리 사용됩니다:

• 극점 위치 확인: \( G(z) \)의 분모 다항식의 근을 계산
• Jury 판별법: 극점 계산 없이 안정성 판별 가능
• 루트 궤적 분석: 샘플링 시간의 변화에 따른 극점의 궤적을 분석

Jury 안정도 기준 예

전달함수가 다음과 같을 때:

\[ G(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} \]

다음 조건을 만족하면 안정합니다:

\[ \begin{align*} &|a_2| < 1 \\ &1 + a_1 + a_2 > 0 \\ &1 - a_1 + a_2 > 0 \end{align*} \]

활용과 의의

안정도 해석은 디지털 제어계의 설계 및 보상 설계에서 필수적인 요소이며, 시스템이 원하는 동작을 지속적으로 수행할 수 있도록 보장합니다. 샘플링 시간의 적절한 선택 역시 안정도에 큰 영향을 미칩니다.