#078 근궤적의 성질

근궤적(Root Locus)은 제어 시스템의 극점(pole)이 이득(K)의 변화에 따라 s-평면에서 어떻게 이동하는지를 보여주는 도구입니다. 근궤적의 성질은 이 궤적이 어떻게 형성되고 전개되는지를 예측하는 데 필수적인 지식을 제공합니다.

1. 근궤적의 기본 법칙

• 근궤적은 항상 시스템의 극점에서 시작하여 영점(zero) 또는 무한대로 향한다.
• 극점과 영점은 모두 s-평면 상의 복소수로 표현된다.
• 총 가지 수는 열린 루프 전달함수의 극점의 개수에 해당한다.

2. 실수축상의 근궤적

실수축 상에 존재하는 구간이 근궤적 상에 포함되기 위한 조건은 다음과 같습니다:

실수축의 한 점에서 오른쪽에 있는 열린 루프 극점과 영점의 개수가 홀수이면, 그 점은 근궤적에 포함됩니다.

3. 점근선(Asymptote)의 각도와 중심

극점의 수가 영점보다 많을 경우, 일부 가지는 무한대로 향하며 점근선을 따라 이동합니다. 이 점근선의 방향과 중심은 다음과 같이 구합니다:

\[ \theta_a = \frac{(2k + 1)\pi}{n - m}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots \] \[ \sigma_a = \frac{\sum p_i - \sum z_i}{n - m} \]

여기서 \( n \): 극점의 수, \( m \): 영점의 수, \( p_i \): 극점, \( z_i \): 영점입니다.

4. 교차점 및 꺾이는 점

근궤적은 실수축뿐 아니라 허수축을 교차하거나 특정 점에서 꺾일 수 있습니다. 이러한 특성은 근궤적의 기하학적 해석에 도움을 줍니다.

요약

근궤적의 성질을 이해하면 시스템의 안정도, 감쇠비, 응답 시간 등을 정성적으로 판단할 수 있으며, 보상기 설계나 시스템 조정 시 중요한 정보를 제공합니다.