#077 근 궤적

#077 근궤적 (Root Locus)

근궤적은 폐루프 제어계의 전달함수에서 극점의 위치가 시스템의 이득(K) 변화에 따라 어떻게 이동하는지를 시각적으로 나타낸 그래프입니다. 이는 시스템의 안정도, 과도응답 특성 등을 분석하는 데 매우 중요한 도구로 사용됩니다.

근궤적의 정의

폐루프 전달함수가 다음과 같이 주어졌을 때,

\[ T(s) = \frac{K G(s)}{1 + K G(s)H(s)} \]

이 시스템의 극점은 특성방정식인 다음 식의 근이 됩니다:

\[ 1 + K G(s)H(s) = 0 \]

근궤적의 목적

• 폐루프 시스템의 극점 위치 분석
• 이득 변화에 따른 시스템 안정성 판단
• 과도응답 성능 예측

근궤적 작성법 개요

1. 개루프 전달함수 \( G(s)H(s) \)의 극점과 영점 확인
2. 실수축 상의 근궤적 결정
3. 궤적의 시작점과 끝점 확인 (극점에서 시작, 영점 또는 무한대로 종료)
4. 분기점과 공액 복소수 대칭성 고려

예시: 단순한 2차계

다음과 같은 개루프 전달함수를 고려해보자:

\[ G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+2)} \]

특성방정식은 다음과 같이 표현됩니다:

\[ 1 + \frac{K}{s(s+2)} = 0 \Rightarrow s^2 + 2s + K = 0 \]

이 식의 근은 이득 \( K \) 값에 따라 이동하며, 이를 근궤적으로 나타낼 수 있습니다.

요약

근궤적은 시스템의 극점 이동 경로를 시각화해줌으로써 안정도 판단과 설계 최적화에 매우 유용한 도구입니다. 제어 시스템의 과도 특성과 주파수 특성을 직관적으로 파악하고자 할 때 필수적으로 활용됩니다.