#073 Routh-Hurwitz 안정도판별법

Routh-Hurwitz 안정도판별법은 선형 시간불변 시스템의 안정성을 해석적으로 판별하는 고전적 기법 중 하나입니다. 이 방법은 시스템의 특성방정식의 계수만을 이용해, 해의 실수부 부호를 판단함으로써 안정 여부를 확인합니다.

특성방정식과 안정 조건

일반적인 n차 시스템의 특성방정식은 다음과 같이 표현됩니다:

\[ a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0 = 0 \]

이 방정식의 모든 근이 좌반평면에 있을 때, 즉 모든 해의 실수부가 음수일 때 시스템은 안정합니다.

Routh 배열 작성 방법

Routh-Hurwitz 방법은 위 방정식의 계수로 이루어진 Routh 배열을 작성하고, 첫 번째 열의 부호 변화를 통해 안정성을 판별합니다.

예: 3차 방정식일 때 \[ a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0 = 0 \] Routh 배열: \[ \begin{array}{c|cc} s^3 & a_3 & a_1 \\ s^2 & a_2 & a_0 \\ s^1 & b_1 & 0 \\ s^0 & a_0 & \\ \end{array} \] 여기서 \( b_1 = \frac{a_2 a_1 - a_3 a_0}{a_2} \)

안정 조건

첫 번째 열의 모든 항이 양수이면 시스템은 안정합니다. 부호 변화가 있을 경우 그 개수만큼 우반평면에 근이 존재하므로 불안정하다고 판단합니다.

활용 및 특징

Routh-Hurwitz 안정도판별법은 복잡한 근 계산 없이 안정 여부를 빠르게 판별할 수 있다는 장점이 있습니다. 특히 고차 시스템의 해석에 매우 유용하며, 실무에서도 널리 사용됩니다.